Essentiel du programme de 4 M

Ce qu'un élève de 4 Année Sectio Mathématiques devrait absolument savoir et savoir-faire

 

 

Aptitudes à développer en 4e Mathématiques

1.    Fonctions

Reconnaître si une fonction est continue en un réel ou sur un intervalle à  partir de son expression algébrique ou d’un graphique.

 

Déterminer les valeurs exactes ou approchées des extrema d’une fonction continue sur [a, b].

 

Déterminer une valeur exacte ou approchée d’une solution d’une équation de la forme f(x) = k , dans le cas où f est une fonction continue sur un intervalle.

 

Déterminer la limite éventuelle d’une fonction du programme en un réel ou à l’infini.

 

Déterminer la limite d’une fonction monotone sur un intervalle aux bornes de l’intervalle.

 

Reconnaître si une fonction du programme est dérivable en un point ou sur un intervalle.

 

Reconnaître que le nombre dérivé d’une fonction en a est la pente de la tangente à la courbe de cette fonction en le point d’abscisse a .

 

Déterminer l’équation de la tangente (ou des demi-tangentes) à une courbe en un point d’abscisse a.

 

Déterminer le nombre dérivé d’une fonction du programme en un réel a connaissant l’équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction au point d’abscisse a.

 

Déterminer l’approximation affine d’une fonction du programme au voisinage d’un réel a.

 

Donner une valeur approchée de nombre réel en utilisant l’approximation affine d’une fonction du programme au voisinage d’un réel a.

 

Déterminer la dérivée d’une fonction du programme sur un intervalle en utilisant les opérations sur les fonctions dérivables et les dérivées de fonctions usuelles.

 

Déterminer la dérivée d’une fonction composée.

 

Résoudre des inéquations en utilisant l’inégalité des accroissements finis.

 

Déterminer le sens de variation d’une fonction du programme connaissant le signe de sa dérivée.

 

Déterminer le sens de variation d’une fonction du programme à partir de sa représentation graphique.

 

Reconnaître qu’un réel est un extremum local ou global d’une fonction du programme.

 

Reconnaître un point d’inflexion.

 

Reconnaître qu’un point ou une droite est un centre ou un axe de symétrie.

 

Reconnaître qu’une droite est une asymptote à la courbe représentative d’une fonction du programme.

 

Tracer la courbe représentative de la réciproque d’une fonction donnée.

 

Tracer une courbe représentative d’une fonction à partir d’une autre en utilisant une transformation plane (translation, symétrie axiale ou centrale) ou une

transformation  d’écriture menant à un changement de repère.

 

Exploiter ou créer un graphique pour étudier la position relative de deux courbes.

 

Exploiter ou créer une représentation graphique pour déterminer ou estimer les solutions éventuelles d’une équation ou d’une inéquation.

 

Déterminer l’ensemble des primitives d’une fonction continue sur un intervalle I.

                                                                            

Reconnaître qu’une fonction est la primitive d’une fonction continue sur un intervalle I, qui s’annule en un réel a de I.

 

Calculer les primitives des fonctions usuelles.

 

Calculer une intégrale en utilisant une primitive.

 

Calculer une intégrale à l’aide d’intégration par parties.

 

Calculer une aire plane.

 

Comparer des fonctions en utilisant des intégrales.

 

Donner une valeur approchée d’une intégrale par la méthode des rectangles.

 

Etudier une fonction définie par une intégrale.

 

Résoudre une équation différentielle du programme.

                                                                                                                                                   

 

 

2.    Suites

 

Reconnaître qu’un réel est un majorant ou un minorant d’une suite du programme.

 

Etudier les variations d’une suite du programme.

 

Représenter graphiquement les points An de coordonnées (n, un), dans le cas où (un)n est une suite du type un = f(n) où f est une fonction du programme.

 

Représenter graphiquement une suite récurrente.

 

Etudier la convergence d’une suite du programme.

 

Déterminer une valeur exacte ou approchée de la limite d’une suite convergente.

 

Reconnaître que deux suites sont adjacentes.

 

 

3. Géométrie

 

Représenter un point connaissant son affixe.

 

Calculer ou transformer des expressions complexes.

 

Déterminer le conjugué d’un nombre complexe.

 

Déterminer le module et un argument d’un nombre complexe.

 

Déterminer la forme trigonométrique, exponentielle d’un nombre complexe non nul.

 

Repérer un point dans le plan orienté et donner son affixe, ses coordonnées cartésiennes ou ses coordonnées polaires.

 

Linéariser une expression trigonométrique.

 

Donner l’expression complexe d’une translation, d’une homothétie, d’une rotation.

 

Reconnaître que deux vecteurs sont colinéaires ou orthogonaux.

 

Décider de l’alignement de trois points, du parallélisme ou de l’orthogonalité de deux droites

 

Déterminer la racine nième d’un nombre complexe.

 

Résoudre une équation de degré supérieur ou égal à 2 à coefficients complexes.

 

Représenter dans le plan complexe les solutions d’une équation de degré supérieur ou égal à 2 à coefficients complexes.

 

Reconnaître une isométrie ou une similitude à partir de sa décomposition canonique, sa propriété caractéristique ou la transformation complexe associée.

 

Déterminer et construire l’image d’un point, d’une droite et d’un cercle par une similitude.

 

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques d’un déplacement et d’un antidéplacement.

 

Déterminer la forme réduite d’une similitude.

 

Déterminer les expressions analytiques d’une isométrie et d’une similitude.

 

Décomposer une isométrie en un produit de symétries orthogonales.

 

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la composée de deux

isoméries.

 

Déterminer une équation cartésienne d’une conique dans un repère orthonormé approprié.

 

Reconnaître une conique à partir de son équation cartésienne.

 

Déterminer un foyer, une directrice et l’excentricité d’une conique à partir de son équation cartésienne.

 

Exploiter les opérations sur les vecteurs de l’espace.

 

Reconnaître que trois vecteurs de l’espace forment une base.

 

Exploiter le produit scalaire et le produit vectoriel dans l’espace pour calculer des grandeurs, déterminer des lieux géométriques et étudier des configurations

géométriques.

 

Déterminer les expressions analytiques d’une translation et d’une homothétie de l’espace.

 

Déterminer l’image d’un point, d’une droite d’un plan et d’une sphère par une translation ou une homothétie.

 

Déterminer les représentations paramétriques de l’image d’une droite, d’un plan ou d’une sphère par une translation ou une

homothétie de l’espace.

 

Déterminer une équation cartésienne de l’image d’une droite, d’un plan ou d’une sphère par une translation ou une homothétie de l’espace.

 

Exploiter les propriétés d’une translation ou d’une homothétie pour étudier des configurations de l’espace.

 

 

4.        Arithmétique

 

Exploiter les propriétés de la divisibilité dans l’entier des entiers relatifs.

                                                  

Calculer le quotient et le reste de la division

                                                     

Calculer le PGCD et le PPCM de deux entiers relatifs

                                                     

Exploiter les propriétés de congruence dans Z .

 

Reconnaître que deux entiers sont premiers entre eux, en utilisant la relation de Bézout.

 

Résoudre dans Z des équations du type :  ax + by = c avec a, b et c entiers relatifs.

 

 

5. Statistiques - Probabilités

 

Décider, à partir d’un nuage de points, de l’utilité d’un ajustement affine.

 

Déterminer et tracer une droite de régression.

 

Calculer la covariance d’une série statistique double.

 

Calculer le coefficient de corrélation linéaire et interpréter le résultat

 

Calculer la probabilité d’un événement sachant qu’un autre est réalisé.

 

Décider de l’indépendance de deux événements.

 

Calculer la probabilité d’un événement en utilisant la formule de BAYES et/ou la formule des probabilités totales.

 

Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire.

 

Calculer les caractéristiques d’une variable aléatoire et interpréter les résultats.

 

Reconnaître un schéma de Bernoulli et en dégager les paramètres.

 

Déterminer la loi de probabilité d’une épreuve de Bernoulli.

 

Reconnaître qu’une variable aléatoire suit une loi exponentielle ou une loi

uniforme.

 

Déterminer la fonction de répartition d’une variable aléatoire qui suit une

loi exponentielle ou une loi uniforme.

 

 

 

   

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